La computación cuántica es un nuevo paradigma de las ciencias computacionales. En años recientes, ha cobrado auge no sólo en la academia sino también en la industria. Vivimos la nueva revolución cuántica. Es el nacimiento de una nueva disciplina que, sin duda, será la tendencia para los próximos años.

Por este motivo, un grupo de jóvenes hispanoamericanos entusiastas de la computación cuántica hemos emprendido el proyecto de QuantumHispano. Nuestro propósito es democratizar el conocimiento sobre esta naciente tecnología en el idioma español, desde los conceptos más elementales hasta los temas más especializados.

Representaciones de un bit clásico

Antes de entrar en el tema principal de este artículo, primero recordemos que, en la computación clásica, el estado de un bit clásico sólo puede tomar dos valores posibles, 0 ó 1.

Representaciones gráficas de bits clásicos.

Estos dos estados los podemos representar de diferentes formas, siempre y cuando sean representaciones binarias. Por ejemplo, un circuito abierto y uno cerrado; una luz encendida y otra apagada; una sentencias falsa o verdadera; una impresión de color blanco o negro, por ejemplo, los códigos de barras o los códigos QR. Inclusive, geométricamente como una flecha hacia arriba y otra hacia abajo, etc.

Las posibilidades para estas representaciones son variadas y dependen según la aplicación. Pero hay algo que todas tienen en común, el bit puede tomar sólo uno de los valores posibles a la vez. Esto suena obvio e intuitivo a nuestra experiencia del mundo cotidiano que nos rodea (por ejemplo, una lámpara no puede estar encendida y apagada al mismo tiempo, ¿o sí?).

Nociones geométricas de un qubit

Sin embargo, en el mundo cuántico, ya no se cumple esto del todo. El estado cuántico de un qubit $\big|\psi\big>$ puede tomar los estados: $\big|0\big>$ ó $\big|1\big>$. Pero además, también puede tomar una infinidad de estados que son combinaciones de esos dos estados ¡simultáneamente! Haciendo una analogía, una lámpara cuántica podría estar encendida o apagada o ambas al mismo tiempo.

Representación artística del gato de Schrödinger. Autor: Jie Qi.

Seguro recuerdas el famoso experimento del gato de Schrödinger, donde un gato puede estar vivo y muerto al mismo tiempo. Pues es justamente esto, sólo que en física esta cualidad la llamamos superposición cuántica.

Tal vez esto te parece difícil de creer o de comprender. Sin embargo, no es tan complicado, y si tienes conocimientos básicos sobre álgebra de vectores, te darás cuenta que el concepto es familiar.

Primero, vamos a imaginar al estado cuántico del qubit $\big|\psi\big>$ como un vector, en un plano cartesiano de dos dimensiones. Y ahora consideremos los estados $\big|0\big>$ y $\big|1\big>$ como vectores base (exactamente como los vectores $\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$ que conoces de toda la vida). Como recordarás de las clases de álgebra vectorial, podemos escribir cualquier vector como una combinación lineal de los vectores base, de la siguiente forma:

\begin{equation}\label{estado1}
\big|\psi\big> = a\,\big|0\big> + b\,\big|1\big>
\end{equation}

Si lo interpretamos de esta forma, un vector de estado $\big|\psi\big>$ tiene una componente en la dirección de $\big|0\big>$ y una componente en la dirección de $\big|1\big>$. Esto en álgebra lo llamamos combinación lineal, pero en física se llama superposición.

¡Vaya! Ahora todo el misterio del gato cuántico ya no es tan misterioso, ¿cierto?

Pero hay una restricción, no todas las combinaciones lineales son válidas para la física cuántica. El estado $\big|\psi\big>$ debe cumplir una propiedad indispensable: ser un vector unitario. Esto es, la norma de $\big|\psi\big>$ debe ser igual a 1. Para que esto suceda, $a$ y $b$ deben cumplir con la siguiente condición:

\begin{equation}\label{normalización}
\Vert\psi\Vert^2 = a^2 + b^2 = 1
\end{equation}

De las clases de geometría analítica, ¿reconoces esta última expresión? Claro, es la ecuación de una circunferencia de radio igual a 1. Así, todos los vectores válidos $\big|\psi\big>$ son los que están en la circunferencia unitaria.

Y hasta aquí, no hay nada raro, ¿verdad?. Excepto por el pequeño detalle que no he comentado. Cuando asumimos que $\big|\psi\big>$ es un vector, implícitamente supusimos que estaba definido en los números reales. O sea, los vectores viven en el plano real de dos dimensiones. Pero en general $\big|\psi\big>$, $\big|0\big>$ y $\big|1\big>$ son vectores en los números complejos.

La Esfera de Bloch

Con estas nociones previas, estamos listos para pasar de un plano real a un plano complejo de dos dimensiones.

Formalmente, las expresiones anteriores de $\big|\psi\big>$ y $\Vert\psi\Vert^2$ no cambian, excepto que ahora $a$ y $b$ son números complejos. Pero aquí aparece un delicado problema. Para representar un plano complejo de dos dimensiones son necesarias 4 dimensiones reales.

Pero si hacemos algunas consideraciones, podemos reducir el problema a uno más fácil de visualizar.

Como $a$ y $b$, son números complejos, podemos representarlos en su forma polar. Por lo que la expresión de $\big|\psi\big>$ puede ser reescrita como:

\begin{equation}\label{estado_complejo}
\big|\psi\big> = r_a\,e^{i\phi_a} \big|0\big> + r_b\,e^{i\phi_b} \big|1\big>
\end{equation}

donde $r_a$, $r_b$, $\phi_a$, $\phi_b$ son números reales (por eso es necesario un espacio 4-dimensional real). Entonces, la norma de $\big|\psi\big>$ es:

\begin{equation}
\Vert\psi\Vert^2 = (r_a\,e^{i\phi_a})(r_a\,e^{-i\phi_a}) + (r_b\,e^{i\phi_b})(r_b\,e^{-i\phi_b}) = r_a^2+r_b^2.
\end{equation}


Ahora, veamos qué pasa si multiplicamos $\big|\psi\big>$ por una fase $e^{-i\phi_a}$:

\begin{equation}
\big|\psi’\big> = e^{-i\phi_a} \big|\psi\big> = r_a \big|0\big> + r_b\,e^{i(\phi_b-\phi_a)} \big|1\big>
\end{equation}

y obtengamos la magnitud de $\big|\psi’\big>$:

\begin{equation}
\Vert\psi’\Vert^2 = r_a^2+ (r_b\,e^{i(\phi_b-\phi_a)})(r_b\,e^{-i(\phi_b-\phi_a)}) = r_a^2 + r_b^2 = \Vert\psi\Vert^2.
\end{equation}


Esto significa, que la norma $\Vert \psi\Vert$ no cambia si agregamos una fase al estado $\big|\psi\big>$. Esto se le conoce como Invariancia a una Fase Global.

En este momento, puede dar la impresión de ser un truco o artificio, pero será de gran importancia cuando se analice la representación de más de un qubit.

Tomando en cuenta la invarianza de fase global, podemos escribir el estado $\big|\psi\big>$, sin perder generalidad, como:

\begin{equation}\label{estado_complejo2}
\big|\psi\big> = r_a\big|0\big> + r_b\,e^{i\phi}\big|1\big> = r_a \big|0\big> + (x +i\,y)\big|1\big>
\end{equation}

donde $\phi=\phi_b-\phi_a$ y además pasamos de la representación polar a la representación cartesiana de un número complejo. De esta forma, $\big|\psi\big>$ sólo depende de tres parámetros reales.


Ahora, nos falta aplicar la condición de normalización como sigue:

\begin{equation}
\Vert\psi\Vert^2 = r_a^2+x^2+y^2=1.
\end{equation}

Si recordamos las clases de geometría analítica, esta expresión es justo la ecuación de la superficie de una esfera de radio igual a 1, en un espacio de tres dimensiones. Así, todos los posibles estados de $\big|\psi\big>$ los podemos representar como los puntos sobre la esfera unitaria.


Ahora, podemos hacer un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, de la siguiente forma, teniendo en cuenta que estamos sobre la esfera unitaria:

\begin{equation}
\begin{split}
x & = \cos(\phi)\sin(\vartheta) \\
y & = \sin(\phi)\sin(\vartheta) \\
r_a & = \cos(\vartheta)
\end{split}
\end{equation}

donde $0\leq \vartheta \leq \pi$ y $0 \leq \phi < 2\pi$. Entonces, $\big|\psi\big>$ se puede escribir como:

\begin{equation}
\begin{split}
\big|\psi\big> & = \cos(\vartheta)\big|0\big> + \big(\cos(\phi)\sin(\vartheta)+i\,\sin(\phi)\sin(\vartheta)\big)\big|1\big> \\
& = \cos(\vartheta)\big|0\big> + \sin(\vartheta)\big(\cos(\phi)+i\,\sin(\phi)\big)\big|1\big> \\
& = \cos(\vartheta)\big|0\big> + \sin(\vartheta)\,e^{i\phi}\big|1\big>.
\end{split}
\end{equation}


Aquí hay una cuestión bastante sútil. Analicemos el caso cuando $\vartheta = 0$:

\begin{equation}
\big|\psi\big>\Big|_{\vartheta=0} = \cos(0) \big|0\big> + \sin(0)\,e^{i\phi}\big|1\big> = \big|0\big>
\end{equation}

Y ahora analicemos el caso cuando $\vartheta = \pi$:

\begin{equation}
\begin{split}
\big|\psi\big>\Big|_{\vartheta=\pi} & = \cos(\pi) \big|0\big> + \sin(\pi)\,e^{i\phi}\big|1\big> \\
&= -\big|0\big> \\
&=e^{i\pi}\big|0\big>\\
&=e^{i\pi}\big|\psi\big>\Big|_{\vartheta=0} \\
&= \big|\psi\big>\Big|_{\vartheta=0}
\end{split}
\end{equation}

donde usamos el hecho que $e^{i\pi} = -1$ y la propiedad de invarianza de fase global.


Esto último nos muestra que, por cada estado $\big|\psi\big>$ en la parte superior de la esfera, existe una copia de ese mismo estado en la parte inferior. Por lo que es conveniente, sin perder generalidad, considerar únicamente los estados con $0\leq \vartheta \leq \pi/2$. Y haciendo el cambio de variable $\vartheta = \theta/2$, tenemos que:

\begin{equation}
\big|\psi\big>=\cos\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\big|0\big> + \sin\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\,e^{i\phi}\big|1\big>
\end{equation}

donde $0\leq \theta \leq \pi$ y $0 \leq \phi < 2\pi$. Esta representación es la llamada Esfera de Bloch.

Esfera de Bloch. Representación geométrica de los estados de un qubit.

De esta forma, cada estado cuántico posible de un qubit $\big|\psi\big>$ es representado como un punto sobre la esfera de Bloch, y está totalmente definido por dos ángulos: $\theta$ y $\phi$.

Lo interesante de utilizar esta representación geométrica es que la acción de una compuerta cuántica sobre el qubit se puede interpretar como una rotación del vector $\big|\psi\big>$.

Sin entrar en detalle, veamos un ejemplo. Imaginemos la compuerta cuántica Hadamard H actuando sobre el estado $\big|\psi\big> = \big|0\big>$:

\begin{equation}
\mathrm{H}\big|\psi\big> = \frac{1}{\sqrt{2}}\big|0\big> + \frac{1}{\sqrt{2}}\big|1\big> = \big|\psi’\big>
\end{equation}

Si tomamos $\theta= \dfrac{\pi}{2}$ y $\phi = 0$, y recordando que:
$$\cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\mathrm{y}\quad\sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

podemos interpretar que la compuerta Hadamard transformó al vector $\big|\psi\big>$ al vector $\big|\psi’\big>$. En otras palabra, el vector $\big|\psi\big>$ fue rotado un ángulo de $\theta = \pi/2$.

Los detalles de esto último los trataré en un próximo artículo.

Acción de la compuerta cuántica Hadamard H al estado $\big|\psi\big>$.

En este momento, podrías preguntarte:

«Si la esfera de Bloch es para un qubit individual, ¿existiá una representación análoga para dos, tres o más qubits?»

La respuesta es sí. Aunque es un poco más complicado. Pero prometo que lo explicaré en un futuro artículo.

Conclusiones

  • El estado de un bit clásico puede tomar sólo dos valores posibles, $0$ ó $1$. Y puede ser representado de distintas formas gráficas o geométricas, siempre y cuando sean representaciones binarias.
  • Sin embargo, el estado de un qubit cuántico puede tomar los valores de $\big|0\big>$, $\big|1\big>$ o una combinación lineal de estos simultáneamente.
  • La representación de un estado cuántico de un qubit se vuelve complicada ya que en general tratamos con de vectores 2-dimensionales complejos.
  • Bajo ciertas consideraciones, es posible representar geométricamente todos los estados posibles de un qubit en la llamada Esfera de Bloch.
  • La Esfera de Bloch nos ayuda a tener una idea más intuitiva del efecto de las compuertas cuánticas sobre el estado de un qubit.

Referencias

Nielsen, M. A. & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.